حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$ and $y (7) = - 2$ ?

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x - 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x - 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $7$ عن $x$ وبـ $- 2$ عن $y$ في $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ .

$- 2 = 4 \ln (| 7 - 6 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$ .

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$

خطوة 4.2

بسّط $4 \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $6$ من $7$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = - 2$

خطوة 4.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$4 \ln (1) + C = - 2$

خطوة 4.2.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$4 \cdot 0 + C = - 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $4$ في $0$ .

$0 + C = - 2$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $C$ .

$C = - 2$

خطوة 5

عوّض بـ $- 2$ عن $C$ في $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 2$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) - 2$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $4 \ln (| x - 6 |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y = \ln ({| x - 6 |}^{4}) - 2$

خطوة 5.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x - 6 |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \ln ({(x - 6)}^{4}) - 2$