حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $q$ ، انقُل $2000$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 300 q$ . إذن $d u = 300 d q$ ، لذا $\frac{1}{300} d u = d q$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 300 q$ . أوجِد $\frac{d u}{d q}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $300 q$ .

$\frac{d}{d q} [300 q]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $300$ عدد ثابت بالنسبة إلى $q$ ، إذن مشتق $300 q$ بالنسبة إلى $q$ يساوي $300 \frac{d}{d q} [q]$ .

$300 \frac{d}{d q} [q]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ هو $n q^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$300 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $300$ في $1$ .

$300$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{300}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $300$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{300}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{300}$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اجمع $\frac{1}{300}$ و $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2000$ و $300$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

أخرِج العامل $100$ من $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $100$ من $300$ .

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $\frac{20}{3}$ و $2$ .

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $20$ في $2$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $300 q$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$