حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 2 t + \cos (t)$ , $s (0) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = (2 t + \cos (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 2 t + \cos (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 2 t + \cos (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = \int 2 t d t + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 2 \int t d t + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.4

تكامل $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$s + C_{1} = t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = t^{2} + \sin (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $s$ في $s = t^{2} + \sin (t) + K$ .

$1 = 0^{2} + \sin (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0^{2} + \sin (0) + K = 1$ .

$0^{2} + \sin (0) + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $0^{2} + \sin (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + \sin (0) + K = 1$

خطوة 4.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + 0 + K = 1$

خطوة 4.2.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = 1$

خطوة 4.2.1.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $s = t^{2} + \sin (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$s = t^{2} + \sin (t) + 1$