حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d t} + 6 u t^{2} = t^{2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $6 u t^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d u}{d t} = t^{2} - 6 u t^{2}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $t^{2}$ من $t^{2} - 6 u t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 - 6 u t^{2}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $t^{2}$ من $- 6 u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $t^{2}$ من $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} (1 - 6 u)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 - 6 u}$ .

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} (t^{2} (1 - 6 u))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 6 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $1 - 6 u$ من $t^{2} (1 - 6 u)$ .

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = t^{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 - 6 u} d u = t^{2} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 - 6 u} d u = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 - 6 u$ . إذن $d u_{1} = - 6 d u$ ، لذا $- \frac{1}{6} d u_{1} = d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 - 6 u$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 6 u$ .

$\frac{d}{d u} [1 - 6 u]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 6 u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، إذن مشتق $- 6 u$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- 6 \frac{d}{d u} [u]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d u} [u]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$0 - 6$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $6$ من $0$ .

$- 6$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $6$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - 6 u$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) = \frac{1}{3} t^{3} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |)) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 1 - 6 u |)$ و $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}$ إلى بسط الكسر.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $6$ من $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 1 - 6 u |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $t^{3}$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{t^{3}}{3} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 (- 2) \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 \cdot - 2 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $u$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 - 6 u |)} = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t^{3} - 6 C} = | 1 - 6 u |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$ .

$| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6}$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

خطوة 3.5.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} + 1}{6}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} + C} + 1}{6}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- 2 t^{3} + C}$ بالصيغة $e^{- 2 t^{3}} e^{C}$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3}} e^{C} + 1}{6}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- 2 t^{3}}$ و $e^{C}$ .

$u = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$u = \frac{C e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$