حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ و $y (1) = - 3$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = 2 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

خطوة 4

بما أن $y$ يساوي قيمة سالبة في الشرط الابتدائي $(1, - 3)$ ، انظر فقط $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $1$ عن $x$ وبـ $- 3$ عن $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

خطوة 5.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ في صورة ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.4

اضرب ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.5

اضرب الأُسس في ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.4

بسّط.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$2 + 2 K = 9$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$2 K = 9 - 2$

خطوة 5.4.1.2

اطرح $2$ من $9$ .

$2 K = 7$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $2 K = 7$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 K = 7$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{7}{2}$ عن $K$ في $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{7}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

خطوة 6.2

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

خطوة 6.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

خطوة 6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

خطوة 6.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

خطوة 6.6

اجمع $2$ و $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

خطوة 6.7

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اختزِل العبارة $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

خطوة 6.7.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

خطوة 6.7.2

اقسِم $2 x^{2} + 7$ على $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$