حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ على $8 + x^{12}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ على $8 + x^{12}$ .

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8 + x^{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{8 + x^{12}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + x^{12}}$

خطوة 1.1.3.2.2

أعِد كتابة $x^{12}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + {(x^{4})}^{3}}$

خطوة 1.1.3.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 2$ و $b = x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (2^{2} - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

خطوة 1.1.3.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

خطوة 1.1.3.2.4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{4 \cdot 2})}$

خطوة 1.1.3.2.4.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

خطوة 1.1.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اجمع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

خطوة 1.1.3.3.2

اضرب $x^{11}$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

خطوة 1.4.3

اضرب $x^{11}$ في $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{\sqrt{u_{1}}}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ بالصيغة ${u_{1}}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.1.4.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{4}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2}{1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ بالصيغة ${u_{1}}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{8}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{4}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.4.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.5

اضرب $\frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4}) \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{2 (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 2.3.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{\sqrt{u_{2}}}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.4

انقُل $2$ إلى يسار $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

لنفترض أن $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ . إذن $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

افترض أن $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.1

أوجِد مشتقة $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})]$

خطوة 2.3.8.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2}) g (u_{2})]$ هو $f (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [g (u_{2})] + g (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2})]$ حيث $f (u_{2}) = 2 + u_{2}$ و $g (u_{2}) = 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ .

$(2 + u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}] + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $0$ .

$(2 + u_{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، إذن مشتق $- 2 u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

خطوة 2.3.8.1.3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $0$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

خطوة 2.3.8.1.3.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

خطوة 2.3.8.1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 1$

خطوة 2.3.8.1.3.12

اضرب $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 + u_{2}) \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.4.4.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- 4 - 2 \cdot u_{2} + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.4

ارفع $u_{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.5

ارفع $u_{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{1 + 1} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.7

أضف $1$ و $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.8

أضف $- 2 u_{2}$ و $4 u_{2}$ .

$- 4 + 2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.9

أضف $- 4$ و $4$ .

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 0 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.10

أضف $2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2}$ و $0$ .

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.11

اطرح $2 u_{2}$ من $2 u_{2}$ .

$2 {u_{2}}^{2} + 0 + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.12

أضف $2 {u_{2}}^{2}$ و $0$ .

$2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.1.4.4.13

أضف $2 {u_{2}}^{2}$ و ${u_{2}}^{2}$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

خطوة 2.3.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

اضرب $\frac{1}{u_{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 3} d u_{3}$

خطوة 2.3.9.2

انقُل $3$ إلى يسار $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{3 u_{3}} d u_{3}$

خطوة 2.3.10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 2.3.11.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 2.3.12

تكامل $\frac{1}{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{3} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.13

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) |) + C_{2}$

خطوة 2.3.14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

خطوة 2.3.14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{2 \cdot 2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{2 \cdot 2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{2 \cdot 2}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{4}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{2 \cdot 4}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

وسّع $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 2 \cdot 4 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.3

انقُل $4$ إلى يسار $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 \cdot x^{4} + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4} x^{4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.5

اضرب $x^{4}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.4.5.1

انقُل $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 (x^{4} x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4 + 4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.5.3

أضف $4$ و $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4} x^{8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.6

اضرب $x^{4}$ في $x^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.4.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4 + 8} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.6.2

أضف $4$ و $8$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.5.1

أضف $- 4 x^{4}$ و $4 x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} + 0 - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5.2

أضف $8 + 2 x^{8}$ و $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5.3

اطرح $2 x^{8}$ من $2 x^{8}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 0 + x^{12} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5.4

أضف $8$ و $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + x^{12} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.6

اجمع $\frac{1}{12}$ و $\ln (| 8 + x^{12} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $12$ إلى يسار $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

خطوة 3.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

خطوة 3.4.3.2

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

خطوة 3.4.3.3

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

خطوة 3.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

خطوة 3.4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

خطوة 3.4.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

خطوة 3.4.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$