حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ على $6 x - 2 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ على $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 x - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d x}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

خطوة 1.1.3.1.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

خطوة 1.1.3.1.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

خطوة 1.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{1}{2 x}$ في $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 3 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 3 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2.3.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

خطوة 3.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

خطوة 3.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

خطوة 3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$