حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(2 y + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 2 y + 1$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 2 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

خطوة 2.2.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

خطوة 2.2.5.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $6 (4 x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $4$ في $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد الكتابة.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

خطوة 3.4.2

بسّط بجمع الأصفار.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $6$ من $24 x + 6 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $6$ من $24 x$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $6$ من $6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (4 x) + 6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

خطوة 3.5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$