حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{2 x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{4 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{4 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{2 x}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{2 x}$

خطوة 2.3

اضرب $e^{4 x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x + 2 x}$

خطوة 2.3.2

أضف $4 x$ و $2 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{6 x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{6 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{6 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{6 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{6 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{4 x} y = \int e^{6 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = 6 x$ . إذن $d u = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 6.1.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 6.1.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{6}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{6} d u$

خطوة 6.3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} y = \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

خطوة 6.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

خطوة 6.5

بسّط.

$e^{4 x} y = \frac{1}{6} e^{u} + C$

خطوة 6.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{6} e^{6 x} + C$ على $e^{4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{6} e^{6 x} + C$ على $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{6} e^{6 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{6} e^{6 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{6} e^{6 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{6 x}$ و $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $\frac{1}{6} e^{6 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{6} e^{2 x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{6} e^{2 x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{6} e^{2 x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{6} e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{6} e^{2 x}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{6} e^{2 x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{6} + \frac{C}{e^{4 x}}$