حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\arctan (x) + x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $\arctan (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 2.3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

خطوة 2.3.4

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

خطوة 2.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

خطوة 2.3.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

خطوة 2.4

أضف $0$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$x = x$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

خطوة 5.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

خطوة 5.5

بسّط.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.2.2

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{y}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2} y}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.5

اجمع $2$ و $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.6

اجمع $\frac{2 y}{2}$ و $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.3.7.2

اقسِم $y x$ على $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\arctan (x) + x y - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x y$ من $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $\arctan (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\arctan (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

خطوة 10.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (x)$ و $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 10.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 10.5

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 10.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 10.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 10.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 10.5.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 10.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 10.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 10.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

خطوة 10.6.3

اضرب $2$ في $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 10.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 10.8

احذِف الأقواس.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 10.10

بسّط.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 10.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 12.1.3

اضرب $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

أعِد ترتيب $\ln (| x^{2} + 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 12.1.3.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 12.2

لكتابة $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.3

اجمع $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اضرب $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

خطوة 12.5.1.2

بسّط $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

خطوة 12.5.2

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 12.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 12.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

خطوة 12.5.3

بسّط.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 12.6

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$