حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x + 5$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 5$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- 5$ عن $x$ وبـ $7$ عن $y$ في $y = - 5 e^{x + 5} + K$ .

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ .

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

خطوة 4.2

بسّط $- 5 e^{- 5 + 5} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$- 5 e^{0} + K = 7$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5 + K = 7$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 7 + 5$

خطوة 4.3.2

أضف $7$ و $5$ .

$K = 12$

خطوة 5

عوّض بـ $12$ عن $K$ في $y = - 5 e^{x + 5} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $12$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$