حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

خطوة 2.4

احذِف الأقواس.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

خطوة 2.5

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

خطوة 2.5.5

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

خطوة 2.6

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 3$ و $c = 2 - 4 x^{2}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.6

اطرح $8$ من $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 3.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.1.6

اطرح $8$ من $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 3.5.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.6

اطرح $8$ من $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 3.6.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ و $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ و $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$