حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 2.3.6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 2.3.8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.11.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C_{4}$

خطوة 2.3.11.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + K$