حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 7$ و $y (5) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (6 x - 7) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 6 x - 7 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 6 x - 7 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 7 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 7 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$y + C_{1} = 3 x^{2} - 7 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 x^{2} - 7 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $5$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = 3 x^{2} - 7 x + K$ .

$0 = 3 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + K = 0$ .

$3 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $3 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$3 \cdot 25 - 7 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $3$ في $25$ .

$75 - 7 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 7$ في $5$ .

$75 - 35 + K = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $35$ من $75$ .

$40 + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $40$ من كلا المتعادلين.

$K = - 40$

خطوة 5

عوّض بـ $- 40$ عن $K$ في $y = 3 x^{2} - 7 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 40$ .

$y = 3 x^{2} - 7 x - 40$