حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{y}{1 + y^{2}}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.3.2.5

اقسِم $y$ على $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\sin (0) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.1.2

أضف $0$ و $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.3.1.1.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.3.1.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

خطوة 4.3.1.1.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

خطوة 4.3.1.2

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{1}{2}$ عن $C$ في $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$