حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y d) x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 1.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

خطوة 2.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{2 x - x}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

$\frac{2 x - x}{x y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $x$ من $2 x$ .

$\frac{x}{x y}$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x y$ في $y$ .

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $y$ .

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

خطوة 6.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

خطوة 6.5.2

أضف $2$ و $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.6

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.3.7.2

اقسِم $x^{2} y$ على $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{3}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$