حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $4 x y d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

خطوة 3.3

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 4.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ على ${(x^{2} + 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ على ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$