حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x (d y)}{d x} = 2 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج عامل $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} = 2 y$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

خطوة 3.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} x^{2}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{C}$

خطوة 3.5.4

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm x^{2} C$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C x^{2}$