حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة ${(7 e^{x} - 5 e^{- x})}^{2}$ بالصيغة $(7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.2

وسّع $(7 e^{x} - 5 e^{- x}) (7 e^{x} - 5 e^{- x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x} - 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.2

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.2.3

أضف $x$ و $x$ .

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.3

اضرب $7$ في $7$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 5 e^{- x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{x} e^{- x} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.5

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.5.1

انقُل $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 (e^{- x} e^{x}) - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{- x + x} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.5.3

أضف $- x$ و $x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 e^{0} - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.6

بسّط $7 \cdot - 5 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 5 - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.7

اضرب $7$ في $- 5$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 e^{- x} (7 e^{x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.9

اضرب $e^{- x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.9.1

انقُل $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.9.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{x - x} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.9.3

اطرح $x$ من $x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 e^{0} - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.10

بسّط $- 5 \cdot 7 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 5 \cdot 7 - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.11

اضرب $- 5$ في $7$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 e^{- x} (- 5 e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- x} e^{- x} d x$

خطوة 2.3.1.3.1.13

اضرب $e^{- x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.13.1

انقُل $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 (e^{- x} e^{- x}) d x$

خطوة 2.3.1.3.1.13.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- x - x} d x$

خطوة 2.3.1.3.1.13.3

اطرح $x$ من $- x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 - 5 \cdot - 5 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.1.3.1.14

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 35 - 35 + 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.1.3.2

اطرح $35$ من $- 35$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 70 + 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $49$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.5

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $49$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.8

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 70 d x + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.9

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \int 25 e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.10

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $25$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3.11

لنفترض أن $u_{2} = - 2 x$ . إذن $d u_{2} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

افترض أن $u_{2} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3.11.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.11.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 2.3.11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.12.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 25 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 2.3.14

اضرب $- 1$ في $25$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 25 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.15

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 25 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 25$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \frac{- 25}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.16.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{25}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.17

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{25}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

خطوة 2.3.18

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 70 x - \frac{25}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

خطوة 2.3.19

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.19.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{25}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

خطوة 2.3.19.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{25}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

خطوة 2.3.20

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{25}{2} e^{- 2 x} - 70 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{25}{2} e^{- 2 x} - 70 x + K$