حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

خطوة 1.4

اطرح $2 x y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $2 y x$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 x y = - 2 x y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x - y^{2} x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

خطوة 5.3

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.5

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.6.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

خطوة 5.7.2

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

خطوة 5.7.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.2

اجمع $y^{2}$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.3

بما أن $- \frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.7

اجمع $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.3.8.2.4

اقسِم $- x^{2} y$ على $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اطرح $x^{2} y$ من $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $x^{2} y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- x^{2} y$ و $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12.3

اجمع $y^{2}$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$