حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

خطوة 1.3.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

خطوة 1.3.2.2

أضف الأقواس.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

خطوة 1.3.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ في $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

خطوة 2.2

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

خطوة 2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

خطوة 2.3.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

خطوة 2.3.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

خطوة 2.3.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

خطوة 2.3.3.2.5

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

خطوة 2.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| y |)$ بالصيغة $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

خطوة 3.1.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

خطوة 3.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$