حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ على $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

خطوة 2.2.4.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

خطوة 2.2.4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sec^{- 2} (x)$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 2.8

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

خطوة 2.10

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

خطوة 2.11

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\cos^{2} (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

افصِل الكسور.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.4

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ في $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.8

اجمع $\frac{- 2}{1}$ و $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.9

اجمع $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ و $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.2.10

اقسِم $- 2 \cos (x) \sin (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

خطوة 3.3

افصِل الكسور.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

خطوة 3.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

خطوة 3.6

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

خطوة 3.7.2

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ في $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

خطوة 3.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 3.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 3.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{5}{1}$ و $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{5 \cos (x)}{1}$ و $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

خطوة 3.12

اقسِم $5 \cos (x) \sin (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3.13

أعِد ترتيب العوامل في $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 7.2

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 7.2.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

خطوة 7.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

خطوة 7.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أعِد كتابة $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 7.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

خطوة 7.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ على $\cos^{2} (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ على $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $- \frac{5}{2}$ على $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.2

اضرب في $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

خطوة 8.3.1.3

افصِل الكسور.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.4

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

خطوة 8.3.1.5

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$