حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x^{3} y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

خطوة 1.2

بما أن $2 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x^{3} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{4} + y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{4}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

خطوة 2.4

بما أن $y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0$

خطوة 2.5

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x^{3}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $4 x^{3}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{3} = 4 x^{3}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x^{3} = 4 x^{3}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x^{3} y$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 - 1 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- 1 \cdot 2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{3} (4 - 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{3} (4 - 2)}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2$ من $4$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{2 y}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 y}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$ في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x^{3} y$ في $y$ .

$2 x^{3} y \cdot y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{4} + y^{4}$ في $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) y d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $y^{4}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $y^{4}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y^{1}) d y = 0$

خطوة 6.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4 + 1}) d y = 0$

خطوة 6.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{5}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} y^{2} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y^{2} \int x^{3} d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{2}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $y^{2}$ و $\frac{2}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 2}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{2}}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.4

اضرب $2$ في $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (y^{2})}{4} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + C$

خطوة 8.3.2.6

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{4}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.3

بما أن $\frac{x^{4}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.6

اجمع $\frac{2 x^{4}}{2}$ و $y$ .

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.3.7.2

اقسِم $x^{4} y$ على $1$ .

$x^{4} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} y + \frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} y = x^{4} y + y^{5}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x^{4} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $x^{4} y$ من $x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $y^{5}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{5}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{5}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$