حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 - y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 1 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 1 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أعِد كتابة $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

بسّط.

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ بالصيغة $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ .

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

وسّع $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.1

اضرب $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.2

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.3

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.1.8

اضرب $2$ في $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2

اضرب $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.3

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3

اضرب $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3.2

اضرب $\frac{K}{2}$ في $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3.3

اضرب $\frac{K}{2}$ في $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4

اضرب $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.2

اضرب $\frac{K}{2}$ في $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.3

اضرب $\frac{K}{2}$ في $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.4

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.5

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.7

أضف $1$ و $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.8

اضرب $2$ في $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أضف $\frac{x K}{4}$ و $\frac{K x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $K$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2.2

أضف $\frac{K x}{4}$ و $\frac{K x}{4}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ بالصيغة $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ بالصيغة $- \frac{K x}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ بالصيغة $- \frac{K^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.7

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$