حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{5 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x}{5 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x}{y \cdot 5}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x}{y \cdot 5}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{5}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{6 x}{5} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{6 x}{5} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{6 x}{5} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{6}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{6}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{5} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{6}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{6}{5}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{5 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{10} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (3)}{10} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{5} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{5} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{5} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{5} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{3}{5} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{3}{5} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{3 x^{2}}{5} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{3 x^{2}}{5} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $2 \frac{3 x^{2}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $2$ و $\frac{3 x^{2}}{5}$ .

$y^{2} = \frac{2 (3 x^{2})}{5} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{2}}{5} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{2}}{5} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{6 x^{2}}{5} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{6 x^{2}}{5} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{6 x^{2}}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{3 x^{2}}{5} + 2 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{3 x^{2}}{5} + 2 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{3 x^{2}}{5} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{3 x^{2}}{5} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{3 x^{2}}{5} + K \cdot \frac{5}{5})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{3 x^{2}}{5} + \frac{K \cdot 5}{5})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{3 x^{2} + K \cdot 5}{5}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $5$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{3 x^{2} + 5 K}{5}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $2$ و $\frac{3 x^{2} + 5 K}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{2} + 5 K)}{5}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 (3 x^{2} + 5 K)}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $\frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.8.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.8.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 3.4.8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.8.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 3.4.8.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.8.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.8.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.8.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.8.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 3.4.8.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K)} \sqrt{5}}{5}$

خطوة 3.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{2} + 5 K) \cdot 5}}{5}$

خطوة 3.4.9.2

اضرب $5$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + 5 K)}}{5}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{2} + K)}}{5}$