حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$