حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d N}{d t} = r N$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (r N)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $N$ من $r N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N r)$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N r)$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = r$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{N} d N = r d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{N} d N = \int r d t$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{N}$ بالنسبة إلى $N$ هو $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int r d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| N |) + C_{1} = r t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| N |) = r t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $N$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| N |)} = e^{r t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| N |) = r t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{r t + C} = | N |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $N$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| N | = e^{r t + C}$ .

$| N | = e^{r t + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{r t + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{r t + C}$ بالصيغة $e^{r t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{r t} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{r t}$ و $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{r t}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$N = C e^{r t}$