حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.5

احذِف الأقواس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

خطوة 1.6

انقُل $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

خطوة 5.4

بسّط.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

اقسِم $\frac{1}{2}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$