حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = y - 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} (y - 2)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} (y - 2)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y - 2} d y = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y - 2$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y - 2 |)} = e^{t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y - 2 |) = t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = | y - 2 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y - 2 | = e^{t + C}$ .

$| y - 2 | = e^{t + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm e^{t + C}$

خطوة 3.3.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{t + C} + 2$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{t + C}$ بالصيغة $e^{t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{t} e^{C} + 2$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{t}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{t} + 2$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{t} + 2$