حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$y'' + 25 y = 0$

خطوة 2

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

خطوة 2.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 2.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بما أن $A$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $A \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.5

اضرب $5$ في $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.6

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.2.7

انقُل $5$ إلى يسار $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

خطوة 2.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بما أن $B$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $B \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 2.3.3.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 2.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 2.3.3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

خطوة 2.3.3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

خطوة 2.3.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

خطوة 2.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

خطوة 3

أوجِد $y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5 A$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 A \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 5$ في $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 5 B$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 B \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.4.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 3.4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

خطوة 3.4.5

اضرب $5$ في $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

خطوة 3.4.6

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

خطوة 3.4.7

اضرب $5$ في $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

خطوة 4

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

خطوة 5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $- 25 A \sin (5 x)$ و $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $- 25 B \cos (5 x)$ و $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

خطوة 5.2.3

أضف $- 25 B \cos (5 x)$ و $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

خطوة 6

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ تمثل حلاً لـ $y'' + 25 y = 0$