حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ و $y (e) = - 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $e$ عن $x$ وبـ $- 2$ عن $y$ في $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (e) + C = - 2$

خطوة 4.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$1 + C = - 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = - 2 - 1$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$C = - 3$

خطوة 5

عوّض بـ $- 3$ عن $C$ في $y = \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 3$ .

$y = \ln (| x |) - 3$