حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d t}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 t + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 t}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

خطوة 2.4

اضرب $e^{2 t}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

خطوة 2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

خطوة 2.4.3

أضف $t$ و $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 3 t$ . إذن $d u = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 3 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

خطوة 6.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ على $e^{2 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ على $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3 t}$ و $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

أخرِج العامل $e^{2 t}$ من $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2.4

اقسِم $e^{t}$ على $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

خطوة 9.2.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

خطوة 9.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$1 + C = 3$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = 3 - 1$

خطوة 9.3.2

اطرح $1$ من $3$ .

$C = 2$

خطوة 10

عوّض بـ $2$ عن $C$ في $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $2$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$