حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 y^{2} d x = 9 x y d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$9 x y d y = 6 y^{2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} (9 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$9 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $9$ و $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x y$ من $x y^{2}$ .

$\frac{9}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{9}{y} d y = 6 \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

خطوة 3.5

اجمع $6$ و $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x y^{2}} y^{2} d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{9}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$9 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$9 \ln (| y |) = 6 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $9 \ln (| y |)$ بنقل $9$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{9}) - 6 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط $- 6 \ln (| x |)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

خطوة 5.2.1.1.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln (x^{6}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{6}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

خطوة 5.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

خطوة 5.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${| y |}^{9} = e^{C} x^{6}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} x^{6}$ .

${| y |}^{9} = x^{6} e^{C}$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$| y | = \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

خطوة 5.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} C}$