حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 3.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 4.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{\arctan (x) + C}$ بالصيغة $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{\arctan (x)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\arctan (x)}$