حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 2 y + 5) d x - (2 (x - 2 y) + 9) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x - 2 y + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y + 5]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 y + 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

خطوة 1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 (x - 2 y) + 9)]$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + 2 (- 2 y) + 9)]$

خطوة 2.2.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x - 4 y + 9)]$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (2 x - 4 y + 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 4 y + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.8

بما أن $- 4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.9

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.10

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 = - 2$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 (x - 2 y) + 9) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int 2 (x - 2 y) + 9 d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int 2 (x - 2 y) d y + \int 9 d y)$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (2 \int x - 2 y d y + \int 9 d y)$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (2 (\int x d y + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (2 (x y + C + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

خطوة 5.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 \int y d y) + \int 9 d y)$

خطوة 5.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + \int 9 d y)$

خطوة 5.8

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + 9 y + C)$

خطوة 5.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)) + 9 y + C)$

خطوة 5.10

بسّط.

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y + 5$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y - 2 y^{2} + 9 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.5

بما أن $- 2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.6

بما أن $9 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$- (2 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.8

أضف $2 y$ و $0$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.9

أضف $2 y$ و $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.3.10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y + 5$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5 + 2 y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 y + 5 + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- 2 y$ و $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 5$

خطوة 9.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 5$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $x + 5$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x + 5$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 5 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 5 d x$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int x d x + \int 5 d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 5 d x$

خطوة 10.5

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 5 x + C$

خطوة 10.6

بسّط.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - (2 x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 12.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 12.2.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - 9 y + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y + 2 y^{2} - 9 y + \frac{x^{2}}{2} + 5 x + C$