حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - y + 2$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - y + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $\ln (| - y + 2 |)$ على $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

اقسِم $x$ على $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

خطوة 3.1.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ .

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

خطوة 3.4.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

لكتابة $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.2

لكتابة $\frac{- 2}{- 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $1$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.3.1

اضرب $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.3.3

اضرب $\frac{- 2}{- 1}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

خطوة 3.4.4.3.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 3.4.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 3.4.4.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.5.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 3.4.4.3.5.2

أعِد كتابة $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ بالصيغة $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 3.4.4.3.5.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

خطوة 3.4.4.3.6

اقسِم $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ على $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- x^{2} + x + C}$ بالصيغة $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- x^{2} + x}$ و $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$