حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (1 - y)}$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y (1 + y)$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{y}{1 - y}$ في $1 + y$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $1 - y$ من $x (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $1 - y$ من $(1 - x^{2}) (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1 - x^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

خطوة 3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.4

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.7

أعِد ترتيب $y$ و $y^{2}$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.8

أعِد ترتيب $1$ و $- y$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.9

اقسِم $y^{2} + y$ على $- y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

خطوة 4.2.9.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- y$ .

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

خطوة 4.2.9.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

خطوة 4.2.9.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} - y$

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

خطوة 4.2.9.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

خطوة 4.2.9.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

خطوة 4.2.9.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- y$ .

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

خطوة 4.2.9.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

خطوة 4.2.9.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 y - 2$

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

خطوة 4.2.9.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

خطوة 4.2.9.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.13

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.15

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.16

لنفترض أن $u = - y + 1$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.16.1

افترض أن $u = - y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.16.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.2.16.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2.16.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.18

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.19

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.20

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.21

بسّط.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.2.22

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y + 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

خطوة 4.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد ترتيب $x$ و $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

خطوة 4.3.4.3

اضرب $1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 4.3.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 4.3.4.5

اضرب $x$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 4.3.5

أخرِج السالب.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

خطوة 4.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

خطوة 4.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

خطوة 4.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

خطوة 4.3.9

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

خطوة 4.3.10

أضف $- x$ و $x$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

خطوة 4.3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.11.1

اطرح $x^{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

خطوة 4.3.11.2

أعِد ترتيب $1$ و $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 4.3.12

اقسِم $- x^{2} + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 4.3.12.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

خطوة 4.3.12.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 4.3.12.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 4.3.12.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 4.3.12.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

خطوة 4.3.12.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.13

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.16

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

خطوة 4.3.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.17.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

خطوة 4.3.17.2

بسّط.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$