حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

خطوة 1

أضف $x y d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{1 + x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 4.3.1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.3

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 5.6.1.1.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

خطوة 5.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

خطوة 5.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2

بسّط.

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

خطوة 5.9.2

اضرب كلا الطرفين في ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.9.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$