حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $y (8 x - 9 y) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - 9 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.2

بما أن $8 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 9 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 9$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.6.2

انقُل $- 9$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

خطوة 2.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $8 x - 9 y$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

خطوة 2.3.8.2

اطرح $9 y$ من $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x (x - 3 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.3

بما أن $- 3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

خطوة 3.4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $x - 3 y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

خطوة 3.4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $8 x - 18 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $4 x - 6 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $8 x - 18 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $4 x - 6 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 x (x - 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.5

أعِد كتابة $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ بالصيغة $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.6

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

خطوة 5.3.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

خطوة 5.3.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 4 x$ و $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.2

اطرح $3 y$ من $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + 3 y$ و $x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد كتابة $- (x - 3 y)$ بالصيغة $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

خطوة 5.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 5.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

خطوة 6.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y (8 x - 9 y)$ في $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.7

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.8

اضرب $2 x (x - 3 y)$ في $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

خطوة 7.9

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

انقُل $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.9.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

خطوة 7.10

طبّق خاصية التوزيع.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

خطوة 7.11

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

انقُل $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

خطوة 7.11.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

خطوة 7.11.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

خطوة 7.11.3

أضف $1$ و $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

خطوة 7.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

خطوة 7.13

اضرب $2$ في $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

خطوة 9.2

بما أن $8 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

خطوة 9.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

خطوة 9.4

بما أن $- 9 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 9 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

خطوة 9.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 9.6

بسّط.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 9.7.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

خطوة 9.7.4

اجمع $- 9$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

خطوة 9.7.5

اجمع $y^{2}$ و $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

خطوة 9.7.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.6.1

أخرِج العامل $3$ من $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

خطوة 9.7.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

خطوة 9.7.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

خطوة 9.7.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

خطوة 9.7.6.2.4

اقسِم $y^{2} (- 3 x^{3})$ على $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $2 x^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

بما أن $- 3 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} (- 3 x^{3})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.4.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 12.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $2 x^{4}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

خطوة 13.1.2

أضف $6 x^{3} y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

خطوة 13.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.1

اطرح $2 x^{4}$ من $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

خطوة 13.1.3.2

أضف $- 6 x^{3} y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

خطوة 13.1.3.3

أضف $- 6 x^{3} y$ و $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 14.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 14.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

خطوة 16

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$