حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $e^{- y^{2}}$ من $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ و $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{- y^{2}}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.2.2

اضرب $- y^{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.2.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = y^{2}$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{y^{2}})$ بنقل $y^{2}$ خارج اللوغاريتم.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

خطوة 3.4.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

خطوة 3.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$