حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ على $\ln (| y |)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ على $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

خطوة 2.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (| y |)$ و $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.4

بسّط.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

خطوة 3.2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

خطوة 3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$