حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(1 + \ln (y)) d x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + \ln (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $1 + \ln (y)$ من $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = \ln (y)$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ ، لذا $y d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = \ln (y)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

خطوة 4.2.1.1.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 4.2.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 4.2.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

خطوة 5.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

خطوة 5.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

خطوة 5.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

خطوة 5.8.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

خطوة 5.8.2.3

اقسِم كل حد في $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.1

اقسِم كل حد في $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ على $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 5.8.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 5.8.2.3.2.1.2

اقسِم $\ln (y)$ على $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 5.8.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 5.8.2.3.3.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

خطوة 5.8.2.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

خطوة 5.8.2.5

أعِد كتابة $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

خطوة 5.8.2.6

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$