حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.3

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 7.6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

خطوة 7.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

أعِد كتابة $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.10.2.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 7.12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.8

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.3.1.9

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

خطوة 8.3.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.10.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

خطوة 8.3.1.10.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

خطوة 8.3.1.10.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

خطوة 8.3.1.10.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

خطوة 8.3.1.11

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

خطوة 8.3.1.12

اجمع $\frac{\sin (x)}{2}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

خطوة 8.4

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

خطوة 8.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

خطوة 8.4.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

خطوة 8.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1

بسّط $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.2.1

اضرب $- \frac{x}{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.2.1.1

اجمع $x$ و $\frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.2.3

اجمع $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ و $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

خطوة 8.4.2.2.1.4

انقُل $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

خطوة 8.4.2.2.1.5

انقُل $x^{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$