حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $e^{x^{2}}$ في $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = C$ على $e^{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = C$ على $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

خطوة 9.2

اضرب كلا المتعادلين في $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

خطوة 9.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{0^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

خطوة 9.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

بسّط $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C = e^{0} \cdot 1$

خطوة 9.3.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

خطوة 9.3.2.1.3

اضرب $1$ في $1$ .

$C = 1$

خطوة 10

عوّض بـ $1$ عن $C$ في $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$