حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x^{2} - 2 x - y) d x + (2 y - x + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 x - y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 2 x - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1$

خطوة 1.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

خطوة 1.4.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y - x + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x + 3 y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - x + 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

خطوة 2.4

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + 0$

خطوة 2.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 1 = - 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} - 2 x - y d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

خطوة 5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int - y d x$

خطوة 5.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int - y d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

خطوة 5.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

خطوة 5.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} - x^{2} - y x + g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.2.2

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.2.3

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.5.1.2

اطرح $x$ من $0$ .

$- x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - x = 2 y - x + 3 y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2} + x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y - x + 3 y^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $2 y + 3 y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y + 3 y^{2}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int 2 y d y + \int 3 y^{2} d y$

خطوة 10.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y + \int 3 y^{2} d y$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 y^{2} d y$

خطوة 10.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 \int y^{2} d y$

خطوة 10.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

خطوة 10.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

خطوة 10.9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

خطوة 10.9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

خطوة 10.9.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

خطوة 10.9.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

خطوة 10.9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

خطوة 10.9.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = y^{2} + 1 y^{3} + C$

خطوة 10.9.6

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + y^{3} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + y^{2} + y^{3} + C$