حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.2

اجمع $0.6$ و $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

خطوة 2.2.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ على $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $y^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

أخرِج العامل $0.6$ من $0.6 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

افصِل الكسور.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4

اقسِم $0.6$ على $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.5

اقسِم $t$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

بسّط.

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ بالصيغة $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

وسّع $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.1

انقُل $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3

اضرب $0.3$ في $0.3$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4

اضرب $0.3 t \frac{K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.1

اجمع $0.3$ و $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.2

اجمع $t$ و $\frac{0.3 K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.5

انقُل $0.3$ إلى يسار $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.6

أخرِج العامل $0.3$ من $0.3 \cdot t K$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8

افصِل الكسور.

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.9

اقسِم $0.3$ على $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.10

اقسِم $t K$ على $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.12

اجمع $0.3$ و $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.13

أخرِج العامل $0.3$ من $0.3 K$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.14

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.15

افصِل الكسور.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.16

اقسِم $0.3$ على $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.17

اقسِم $K$ على $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18

اضرب $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.1

اضرب $\frac{K}{2}$ في $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.2

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.3

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.18.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أضف $0.15 t K$ و $0.15 K t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.2.1

انقُل $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2.2

أضف $0.15 K t$ و $0.15 K t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.4

بسّط $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $0.09 t^{2}$ .

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب $0.3 K t$ و $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$