حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

خطوة 1

أضف $3 y d x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x d y = 3 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

خطوة 3.5

اجمع $3$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.3

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.4.2

بسّط $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

أعِد كتابة $e^{C} {| x |}^{3}$ بالصيغة ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1

أخرِج عامل ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

خطوة 5.5.4.2.1.2

أعِد ترتيب $e^{C}$ و ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

خطوة 5.5.4.2.1.3

أضف الأقواس.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

خطوة 5.5.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

خطوة 5.5.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

خطوة 5.5.4.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

خطوة 5.5.4.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = | x | \sqrt{C | x |}$

$y = - | x | \sqrt{C | x |}$