حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 + x) (\frac{d y}{d x}) = 3 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(2 + x) \frac{d y}{d x} = 3 y$ على $2 + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(2 + x) \frac{d y}{d x} = 3 y$ على $2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d y}{d x}}{2 + x} = \frac{3 y}{2 + x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 + x) \frac{d y}{d x}}{2 + x} = \frac{3 y}{2 + x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 + x}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{2 + x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{2 + x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{2 + x}$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 + x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{2 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{2 + x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{2 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 2 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 2 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 3 \ln (| 2 + x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 3 \ln (| 2 + x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| 2 + x |}^{3}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${| 2 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| 2 + x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} {| 2 + x |}^{3}$ .

$| y | = {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} C$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C {| 2 + x |}^{3}$