حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $x y + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

خطوة 1.1.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $x + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

خطوة 1.2.5

اضرب $x$ في $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{x + 1}{x}$ في $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $1 + y$ من $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y$ من $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$