حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 7 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 7 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $6$ عن $x$ وبـ $19$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

خطوة 4.2

بسّط $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $6$ من $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

خطوة 4.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

خطوة 4.2.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

خطوة 4.2.1.4.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $C$ .

$C = 19$

خطوة 5

عوّض بـ $19$ عن $C$ في $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $19$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

خطوة 5.2

اضرب $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب $\ln (| 7 - x |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

خطوة 5.2.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$